חומר עזר6.7 : פולינום טיילור – דוגמאות

בסעיף זה נתבונן בפונקציות שונות, ונשווה בין הגרפים שלהן לגרפים של פולינומי הטיילור שלהן (שהוגדר ב- 6.6).

1. הפולינום

פגשנו כבר בדוגמה זו בסעיף 6.5, שם ראינו כי .

על פי ההגדרה בסעיף 6.6:

כלומר, מ- עבורמתקבלת סדרת פולינומים ממעלה עולה, המסתיימת ב- עצמה, וכך סדרה זו נותנת הערכות טובות יותר ויותר ל- בקרבת הנקודה .

להלן מובאים גרפים של 6 הפונקציות: . בחן אותם וראה כי אכן הינו קירוב טוב יותר ככל ש- עולה, עד .

שים לב כי אם נביט ב- (), גם הוא יהיה , מאחר ועבור פולינום, , כלומר .

2. הפונקציה

על מנת למצוא את פולינומי טיילור אנו זקוקים לערכים של .

מאחר ש-, נקבל כי לכל זוגי, בעוד עבור כל אי זוגי נקבל לסירוגין ו-:

כך פולינומי טיילור יהיו:

3. הפונקציה

כל הנגזרות של הן היא עצמה. לכן, ו-, ולכן:

הגרפים של מובאים מתחת, ושוב ניתן לראות כי הגרפים בין הפונקציה המקורית לפולינום המקרב הולכים ומתקרבים זה לזה, על פני סביבה גדלה והולכת של x-ים סביב .

4. הפונקציה

במקרה הזה אנחנו צריכים לעבוד קצת יותר קשה על מנת למצוא נוסחה לנגזרת ה--ית. תחילה:

נכתוב זאת כחזקה: , וכעת יקל עלינו לגזור ביטוי זה שוב ושוב:

ובאופן כללי כך ש-(עבור ). על כן:

שים לב כי הפעם, למרות שהקירוב של ל- משתפר ככל ש- גדל בקרבת , לא נראה כי הסביבה [ב-x] בה הקירוב מתקרב ל-f הולכת וגדלה. בפרט, עבור הקירוב אינו טוב בכלל! מאחר ו- מוגדר רק עבור והוא גדול ושלילי ככל ש- , איננו יכולים לצפות כי הפולינומים יספקו קירוב טוב בסביבת , אבל לכתחילה, סביב שום דבר משונה לא קורה לפונקציה! (ולכן לא ברור מדוע הקירוב אינו טוב החל מנקודה זו)