חומר עזר6.1 : מהו קירוב טיילור?

ראינו כי לפונקציה שהינה גזירה בנקודה קיים קירוב לינארי:

מבחינה גרפית, זהו הקירוב לגרף של שנוצר על ידי הקו המשיק בנקודה , כאשר

קירוב לינארי זה טוב רק בקרבה לנקודה עצמה.

בנקודה עצמה, קירוב זה לא נותן דבר: הערכים ב-(*) בשני הצדדים זהים, והינם .

בקרבת הנקודה, כלי זה יעיל אם אנחנו יודעים את ערכי , ואנו רוצים להעריך את (ראה פרק 5).

אבל עדיין, בצורה זו אנו מקבלים הערכה גסה של עבור בקרבת . המטרה של פרק זה הינה לקבל הערכה טובה יותר ל-, על ידי שימוש בפולינומים במקום בפונקציות לינאריות. הצד הימני של (*) הוא הקירוב הלינארי "הכי טוב" ל- בקרבת (הוא תואם גם לערך וגם לשיפוע של בנקודה ).

הקירוב "הכי טוב" ל-, בקרבת , המתקבל על ידי שימוש בפולינום ממעלה נקרא פולינום טיילור. עם מעט מזל (פונקציות טובות), ככל ש-יגדל, כך קירוב זה יהיה טוב יותר!

למה אנו מתכוונים שאנחנו אומרים הקירוב "הכי טוב" על ידי פולינום?

"הקירוב הכי טוב" על ידי פונקציה לינארית בסביבת משמעו שהערך והנגזרת ב- תואם לזו של הפונקציה .

"הקירוב הכי טוב" על ידי פולינום בעל דרגה בסביבת משמעו שהערך וכל הנגזרות עד וכולל הנגזרת הn-ית, ב- תואמות לאלו של .

על מנת להבין את ההגדרה מעלה, תחילה עלינו לדון בנגזרות מסדר גבוהה.