חומר עזר 3.16 : פירוק פולינומים לגורמים ליניאריים


לפי המשפט היסודי של האלגברה, לכל פולינום ממעלה יש לפחות שורש (מרוכב) אחד , כלומר .

משמעות הדבר הנה כי , וכעת אנו יכולים להשתמש במשפט היסודי של האלגברה על הפולינום , ובאופן אינדוקטיבי לרשום את כמכפלה של גורמים ליניאריים:

(כאשר הנו המקדם של ).

ישנם גורמים, ו- הם השורשים של . שימו לב כי ייתכן כי חלק מן הערכים יופיעו יותר מפעם אחת – נאמר כי לשורש יש ריבוי (multiplicity) אם עבור בדיוק ערכי .

לסיכום, הראינו את התוצאה החשובה כי

כל פולינום ניתן לכתיבה כמכפלה של גורמים ליניאריים מעל .


דוגמאות:

א.השורשים הנם(ללא ריבוי)

ב. נמצא את שורשי הפולינום : ראשית, נשים לב כי לפולינום במקדמים שלמים יש שורש רציונלי אם ורק אם מחלק את המקדם החופשי ו-מחלק את המקדם של החזקה הגבוהה ביותר. במקרה הנדון, השורשי הרציונליים האפשריים הם לכן . בדיקה מראה כי 1 שורש של הפולינום (שהרי ) ומכאן כי גורם לינארי בפירוק.

לכן נקבל . אמנם לפולינום אין שורשים רציונליים, אך ניתן למצוא את שורשיו ע"י הנוסחה לשורשי פולינום ריבועי ונקבל כי

לחלופין, (ולמעשה אותו הדבר, אך לעתים קרובות מהיר יותר ולכן מוביל לפחות טעויות), ניתן להשלים את הריבוע בפולינום הריבועי שקיבלנו:

ג. נביט בפולינום . המועמדים היחידים להיות שורשים שלמים הנם ובבדיקה נמצא כי אכן שורשים () ולכן:

על-כן, שורשי הפולינום הנם , ול-1 ישנו ריבוי 2.

ד. . כלומר השורשים הם , ושניהם עם ריבוי כפול.

ה. יהי . המועמדים לשורשים שלמים הנם , ובדיקה מראה כי שורש של .

על-כן:

ולכן שורשי הפולינום (ללא ריבוי).