חומר 1.2 : מה זה ?

נרצה לדון ב בגיאומטריה וקטורית ב-, מרחב בעל n מימדים.

קל לבני אדם לדמיין מרחבים חד, דו ותלת-מימדיים, אך אם נרצה לטפל באופן כללי יותר עם מרחב n-מימדי עלינו ראשית להגדירו.

פורמלית נגדיר את כקבוצת כל ה-n-יות (הסדורות) של מספרים ממשיים הנכתבים בעמודה:

לקבוצה זו נקרא מרחב אוקלידי n-מימדי.


ראשית עלינו להבין איך הגדרה זו מתיישבת עם המושג האינטואיטיבי שלנו של מרחב אוקלידי עבור n קטן על מנת לבחון אם הגדרה זו מספקת הרחבתו עבור n כללי (לא בהכרח קטן).




n=1

חרוז המחליק על חוט. זוהי מערכת בעלת דרגת חופש אחת, בהיות החרוז נע במרחב חד-מימדי תחת האידאליזציה לפיה אנו מסתפקים במיקומים האפשריים של מרכז החרוז. מיקום הנקודה מוגדר על ידי מספר ממשי יחיד, כל עוד בחרנו נקודה (אפס) ממנה נמדוד את המרחק ואוריינטציה (עלינו לבחור איזה מבין שני הכיוונים חיובי)




כמובן שזו אידיאליזציה – לאטומים יש גודל סופי, וסביר כי מקבל ערכים דיסקרטיים בלבד, אבל קל יותר לעבוד עם מספרים ממשיים ולכן נניח שמיקום המרכז האידאלי של החרוז על החוט מתואר ע”י מספר ממשי

קרי- הוא פשוט .

n=2

אם נרצה לתאר את המיקום של נמלה על שולחן, שוב נוכל להשתמש באידיאליזציה (להתעלם מכל נתוני הנמלה פרט למיקום מרכזה ולהניח כי השולחן שטוח ואינסופי). נקבל נקודה (a,b) על מישור, אשר כל עוד מוגדרת הראשית (נקודת ייחוס – נקודת האפס), ומערכת צירים x,y נקבעת ע”י הרכיבים (קואורדינטות).




n=3

אם נרצה לתאר את המיקום של זבוב במרחב, נבצע אידיאליזציה ע"י התעלמות מגודל הזבוב ונצמצם הבעיה לזו של תיאור נקודה במרחב, כלומר עלינו לבחור נקודת מוצא וכיוונים של 3 צירים.


נבצע זאת ע"י בניית תיבה שקודקודיה הנגדיים הם נקודת הראשית והנקודה המציינת את מיקום הזבוב-

לכן שלושת השיעורים x, y, z (אורכי שלושת מקצועות התיבה) מתארים את מיקום הנקודה.






n=4

אף עם ארבעה מימדים נוכל להתמודד כמרחב-זמן



אנו רואים שמתחילות להיגמר לנו האותיות בא"ב. בשביל n כללי נצטרך מערכת שמות עקבית יותר, ולכן אנו משתמשים באינדקסים – x1,x2,...,xn. לפעמים נשתמש במערכת זו גם עבור nים קטנים:

n=2

(x1,x2) או (x,y)

n=3

(x1,x2,x3) או (x,y,z)

n=4

(x1,x2,x3,x4) או (x,y,z,t) או



כעת אנו רואים שההגדרה למרחב אוקלידי n-מימדי כקבוצה של נקודות שמוגדרות ע"י n-יות סדורות של מספרים ממשיים היא הרחבה הגיונית עבור האינטואיציה שלנו עבור nים קטנים (1-3). יש לשים לב שמחרוזת של n מספרים ממשיים ניתנת לכתיבה בשורה או בעמודה.

אנו משתמשים בקונבנציה הבאה:

שורה לעולם תציין נקודה ב: xi נקראים שיעורים (קואורדינטות).

עמודה לעולם תציין וקטור עמודה בRn, כאשר xi נקראים רכיבים.


בתת-פרק 1.5 נראה שוקטור עמודה מספק לנו בדיוק את המידע הדרוש כדי לייצג וקטור גיאומטרי בRn, כפי שהוגדר ב1.1.


עבור כל מערכת קואורדינטות אנו מגדירים נקודה מיוחדת, היא נקודת הראשית (0,...,0), המסומנת ע"י האות O (משום

Origin, מקור). כל שיעוריה- אפסים.

רצף האפסים הכתוב כעמודה נקרא וקטור האפס, ומסמנים אותו 0 (אפס עם קו מתחת, או בדפוס לפעמים 0).